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一、文献综述
如何为期权定价在金融领域已经有很长的历史了。早在1900年法国数学家Bachelier在其投机理论一文中提出用公平赌博的方法(FairGameApproach),得出到期日看涨期权的预期价格公式,但他的工作并没有引起金融界的重视。在其后半个多世纪里,期权定价理论进展甚微。期权定价方面的新发展始于1960年,其中主要有Sprenkle的看涨期权价格模型、Samuelson的欧式看涨期权模型等,但是这些模型都是不完善的,如包含着某些无法准确估计的参数、定价公式依赖于特定投资者的偏好等。
1、B-S模型
现代期权定价理论的革命始于1973年,FischerBlack和MyronScholes(1973)发表了《期权定价和公司财务》一文,在一系列严格的假设条件下,通过严密的数学推导和论证,提出了后来被称为Black-Scholes模型(下称BS模型)的期权定价模型,成为期权定价理论研究中的开创性成果。其中心思想是在已知股票价格未来分布的假设下,可以用股票和一个无风险债券组合动态复制期权的收益进行避险,而期权的价格就等于动态复制所需的成本。这一定价模型现已成为交易商们所普遍使用的一个定价工具,极大地推动了衍生产品市场的深入发展。
由于其严密的逻辑、形式上的优美及计算上的简单,BS模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实际环境不相吻合的假设,导致BS模型价格与实际期权的市场价格经常有很大的差距,因此该模型价格只能作为参考价格。具体是由以下两个因素所造成的:
1、交易成本与交易的不连续性。BS模型中假设不存在交易成本且证券交易是连续的。发行商采用Delta值(即期权价格相对于标的股票价格每单位变动的变动,可由BS公式得出)避险策略,必须连续地微小地调整期权与股票的头寸,以消除市场价格风险。而实务中,由于交易成本的存在,采取这样的动态连续避险操作会导致过高的累积交易成本,因而只能采取间断性避险。虽然间断性避险降低了交易成本,却增大了避险误差,使得投资组合不能保持无风险状态。
2、股价分布与波动率。BS模型所假设的股票价格的分布和实际分布不同,根据模型得到的避险头寸值也就并不准确,这也造成动态复制的成本偏离期权价格。
针对BS模型的这些与实际不符的假设条件,很多学者进行了修正与推广,主要地可分为两类:(1)不完美市场,包括引入交易成本及非连续避险；(2)股价收益率及波动率分布过程,采用与BS模型不同的假设。另外,也存在其它一些修正,如针对BS模型中利率固定的假设,引入随机利率模型等。
2、不完美市场
Leland(1985)开创性地提出对BS模型采用一种修正的波动率,来解决交易成本带来的避险误差问题。其基本思想是:在连续时间的BS模型框架下,假设在给定的时间间隔进行避险调整,通过在波动率中加入包含交易成本的因素,使得期权价格的增加恰好能抵消交易成本,从而对BS公式做出修正,使之仍可应用于避险操作。
Leland模型虽然比BS模型有所改进,但其策略并不是最优策略。有研究表明,这种避险策略并不能精确地避险。Whalley和Wilmott(1997)通过对最优化系统的渐进分析,提出了一个相对容易实行的避险算法。他们提出一个决策规则,在每个时间瞬间监控股价并决定是否进行避险头寸调整,从而解决巨幅累积交易成本的问题。其基本思想是,投资者的Delta避险策略由市场的运动决定,如果Delta与实际持有的资产数量的差大于投资者指定的避险带,则资产组合就需要重新调整到Delta。期权价值还是由期望收益率等于无风险利率决定。
3、股价收益率及波动率分布
虽然BS模型被广泛应用于权证的定价,但对标的股价的实证研究表明,BS模型并不能很好的刻划股价波动率的以下几方面的特征:(1)波动率微笑(VolatilitySmile)。按照BS模型的假设,隐含波动率应该与执行价无关且是常数,而实际上隐含波动率作为执行价格的函数曲线呈现两头上翘的形态。(2)肥尾(FatTails)分布,即资产收益率分布在极端情况的概率大于相应的正态分布的概率,呈现肥尾分布。(3)群聚(ClusteringEffect)现象,即波动率一个时期高而另一个时期低,且在不同时期间的变换是不可预测的。(4)均值回复(MeanReversion),即波动率围绕一个常数值震荡,意味着波动率倾向于回到长期均值的水平。(5)杠杆作用(LeverageEffect),即波动率与股价运动之间存在负相关关系。(6)其他经验特征,如隐含波动率期限结构、隔夜与周末效应、分红效应、溢出效应、信息到达效应等。
因此,对于经典的BS模型假定标的资产价格服从几何布朗运动、波动率为常数这些假设,学者们提出了多种修正、推广建模方法。
Merton(1976)提出股价路径应是一个跳跃扩散过程。如果资产价格变化过程中的跳跃成分与整个市场无关的话,就属于可分散风险,可分散风险不应该获得期望收益。利用几何布朗运动描述只有系统风险的资产价格运动,用Poisson随机过程描述产生非系统风险的偶然的资产价格的跳跃,并且假设跳跃幅度服从正态分布,通过求解随机方程可得出期权定价公式。
对于BS模型中波动率为常数的修正,大致上可根据所指定的波动率函数的特点分为两类:(1)确定性波动率模型:这类模型是将波动率作为标的股票价格水平的函数,主要包括方差弹性为常数的CEV模型(TheConstantElasticity of Variance Model)及IDV模型(ImpliedDeterministicVolatilityModel)；(2)随机波动率模型:它们假设波动率服从一个随机过程。这两类模型均需要利用期权市场的数据来估计模型的参数。
二、模型描述
由于目前我国内地尚不存在权证市场,各种定价模型的定价效率尚无法进行检验；一些定价模型,比如确定性/随机波动率模型的参数亦无法估计,所以我们将重点研究在间断避险及存在交易成本情况下,各种避险策略的避险效果问题。下面对相关模型作出描述。
1、股价过程假设
在BS 模型中,假设股价服从几何布朗运动,也就是说有一个固定的期望报酬率及一个固定的方差,同时还对市场做了如下假设:
(1) 无风险利率已知且在合约期限内为常数,投资者可以无风险利率自由借贷。
(2) 股票不分发股利也不做任何其它形式的利润分配。
(3) 期权为欧式的,即只能在到期时履约。
(4) 买卖股票与期权时无交易成本。
(5) 对卖空没有任何限制。
(6) 交易时间及价格变动是连续的。
2、B-S定价公式
根据伊藤定理,期权及股票的报酬都受相同的不确定性的影响,因此,若以股票及期权构造一投资组合,包含Delta单位标的股票的多头及一单位期权的空头,则报酬的不确定性将被消除。在一个极短的时间内,该组合的价值变化独立于股价的变化。因为当股价变动时,如果避险是连续进行,期权的价值变化恰好将股价的变动抵消,消除了随机项,使得该投资组合在建立头寸的瞬间是无风险的。
值得注意的是,这样的投资组合并不是永远无风险,它只有在很小的时间间隔内才无风险。当股价随着时间而改变时,需要连续地调整组合中期权及股票的比例,也就是要连续避险,才能形成无风险的避险组合。
在无套利的假设下,该投资组合的收益率应该等于无风险利率,再加上欧式看涨期权的边界条件,即可推导出欧式看涨期权的定价公式:
由定价公式可知,期权价值是由5个变量所决定,包括标的股价(S),履约价(K),无风险利率(r),剩余期限(T-t)及标的股报酬率标准差(σ)。这5个变量的变动会影响期权价值的变动。模型中的五个变量,除标的股标准差σ即波动率外,均可以从市场上直接获得(见表1)。
3、避险策略
从BS公式的推导过程中可得出发行商所采用的避险策略。首先,发行商出售认购权证获得资金C元；然后借入资金
元；利用这部分资金买入N(d1)(delta值,即避险比率)份标的股票,并随着时间及delta值的变化,连续调整所持有的标的股票份数。这种根据delta值的变化随时调整避险仓位的策略,是一种动态避险策略,称为delta避险策略或delta中性策略。
4、存在交易成本的间断避险策略
明显地,在实务环境下,无交易成本及连续避险是不可能的,在进行权证避险时,需要对此作出修正。
Leland模型
Leland(1985)给的存在交易成本条件下的避险策略,是在BS公式的基础上,通过调整波动率进行的。他将波动率加上一个与交易成本及避险间隔相关的调整项,将调整后的波动率代入BS模型可以得到调整后的避险比率。
Delta区间避险策略
Delta区间避险策略,是指当Delta超出预定范围时才调整标的股票的避险头寸,有两种调整方法:一是按照一个理想的Delta值进行避险；其次是进行一个最小的避险交易以使Delta值保持在预定的范围之内。定义H为理想Delta值的偏离,D是实际持有的标的股票头寸,即H=D-Delta。当H超过预设值时,重新调整避险头寸使得H＝0。
效用最大化策略
效用最大化策略试图寻求一种全局最优的避险策略。其做法是,首先为避险操作定义一个效用函数,然后最大化该效用函数的期望值。Whalley和Wilmott通过对最优化系统的渐进分析,给出了一个相对容易实行的避险算法,即给出了避险头寸的的避险带(Delta-Bt,Delta+Bt)并给出了避险带宽度为2Bt的计算公式。相应的避险策略是:当现有避险头寸小于本期BS的Delta值减Bt时,需要将避险头寸调整到Delta-Bt,当现有避险头寸大于本期BS的Delta值加Bt时,需要将避险头寸调整到Delta+Bt,若现有避险头寸在这两个值之间,就保持原有头寸不变。其中,Bt的值与投资者风险厌恶系数有关。
三、模拟分析
在BS模型中,除了波动率以外的资料均可由市场中取得,因此我们只需要估计波动率。一般使用的波动率为历史波动率及隐含波动率。历史波动率的计算较为简单,但有两项缺点:(1)没有考虑将投资者对标的股票未来波动率的预期；(2)估计期间长短的选取,若期间太短可能会面临估计错误的风险,若太长又可能与未来波动率的相关性不高。由于我国市场上还不存在认购权证或场外期权,故无法采用隐含波动率。本文采用三个月的历史波动率,作为三个月期限认购权证波动率的估计,以避免使用历史波动率的缺点。以下说明应如何估计历史波动率。
1、波动率的估计
在实证上要估计股价的波动率,通常是取固定间隔时间的股价资料进行估计(如:每日、每周、每月等等)。
定义:n+1:股票价格样本区间；Si:第i个时间间隔的股票价格；τ:时间间隔的长度(以年计算)。令ui=lnSi/(Si-1),i=0,1,2,...,n
要估计股价的波动率,也就是估计μi的标准差
其中u是ui的算术平均。ui的标准差相当于σ√τ的估计值,因此可以用
作为波动率σ的估计值。
利用上述方法,我们估计上证50ETF的波动率(2005年2月23日至2005年5月13日,共计53个交易日数据)为0.1853。
2、方法描述
为比较各种避险策略的效果,我们以上证50ETF为标的的认购权证为例,本文以下所用到的参数如下:
标的现价:S0=0.762；执行价格:K=0.762；期望收益率:μ=4.5%(漂移率(即期望收益率)取为无风险利率)；波动率:σ＝0.1853；期限:T-t=0.25(T-t为权证的存续期限,以年计算。0.25即表示三个月期限)；无风险利率:r=4.5%(这是根据目前发行商的融资成本得出的一个经验估计值)；单边交易费率:k=0.15%。
因为我国市场上尚不存在认购权证,因此,我们采用Monte Carlo模拟的方法,对各种避险策略进行检验。步骤如下:
(1)生成服从几何布朗运动的股价路径:
(2)检验避险头寸是否需要进行调整,并将头寸调整产生的交易成本及最新避险头寸进行记录,计算头寸调整总成本的现值。
(3)到期时,支付行权收益。
各种避险策略的总损益,等于避险误差与交易成本之和,即避险头寸市值的现值、交易成本现值(负值)、行权支付(负值)及权利金收入之和。各种避险策略的权利金收入均等于BS公式计算的价值。本文采用95%的VaR值作为衡量各种策略避险效果的标准。
3、模拟结果
我们通过MonteCarlo模拟的方法对几种避险策略进行了检验:(1)固定时点的B-S模型,95%的可能性最大亏损不超过0.01291；(2)固定时点的Leland模型,95%的可能性最大亏损不超过0.01198；(3)Delta区间避险,95%的可能性最大亏损不超过0.01281；(4)Whalley-Wilmott避险带策略,95%的可能性最大亏损不超过0.0107(见表2)。
在我们的例子中,以95%的VaR作为衡量标准,避险效果最好的是Whalley-Wilmott避险带策略,对应的最优风险厌恶系数等于2086,产生的初始避险带是BSDelta值上下浮动0.02。如果避险头寸小于BSDelta-0.02,需要将其调整为BSDelta-0.02；如果避险头寸大于BS Delta＋0.02,则将其调整为BSDelta＋0.02；如果避险头寸介于BSDelta-0.02与BS Delta＋0.02之间,则不需调整。
本研究报告结论
本文提供了一个权证定价理论的回顾及介绍。期权定价理论的经典模型是BS公式。由于计算比较简单,B-S模型在实践应用方面被广泛采用。但理论本身涉及一些与实务不吻合的假设,诸如完美市场假设、股价变动过程呈现对数正态分配、股价波动率(Volatility)固定不变及利率水平不变等等。
对这些假设条件的放松或改进,产生了许多的定价模型。比如对利率水平不便的放松,产生随机利率下的期权定价模型；对于波动率为常数假设的放松,产生确定性波动率模型(DeterministicVolatilityModel)、随机波动率模型(Stochastic Volatility Model,SVModel)等；对于股价对数正态分布假设的改进,产生跳跃扩散过程、GARCH过程及Levy过程等分布下的期权定价模型；对于完美市场假设(连续交易及零交易成本)的放松,产生Leland模型、Wilmott模型等。
由于我国内地市场目前尚不存在权证市场,定价模型的定价效率尚无法进行检验。我们采用MonteCarlo模拟的方法,研究了在间断避险及存在交易成本情况下,各种避险策略的避险效果问题。检验的避险策略包括固定时点的BS模型、固定时点的Leland模型、Delta区间避险及Whalley-Wilmott避险带策略。结果发现Whalley-Wilmott避险带策略要优于其它避险策略。
我们对各种避险策略效果的检验过程中,采用的衡量标准是VaR值。值得说明的是,不同的衡量标准可能会产生不同的结论。由于采用MonteCarlo模拟的方法,在检验过程中也没有考虑随机波动率、买卖价差及股价的跳跃等问题。另外,检验过程也没有考虑我国市场的一些特殊情况,比如卖空及涨跌幅限制等。这些都是后续研究应注意的问题。
权证定价内在机制及理论演化过程
权证是一种衍生证券,给予持有人这样一个权利:在约定的时间,按照约定的价格,买入或卖出约定数量的标的资产。持有人执行此权利的约定价格,称为履约价格或执行价格；此权利可被执行的最后日期称为到期日。美式权证可以在到期日前的任意交易日执行,而欧式权证仅能在到期日执行。
权证分为公司权证(CompanyWarrant)及衍生权证(DerivativeWarrant)两类。衍生权证通常由券商等金融机构发行,主要目的是理财及避险,行权后并不增加标的公司的股本。本文所指权证均属此类。因理论上美式权证与欧式权证定价的一致性,本文将以欧式股票认购权证为例讨论权证的定价与避险。本质上,认购权证是一种看涨期权,故可用看涨期权的定价模型及避险策略来进行相应分析。
权证的定价问题可作如下直观表述。一位上证50ETF认购权证的持有者,在到期日有权利但非义务,以事先约定的履约价格购买一份上证50ETF。如果届时履约价格低于上证50ETF的市场价格,即权证处于价内,投资者将在到期日行使权利买进上证50ETF。因此,权证的定价模型首先要回答的问题是:如何评估标的股票,如上证50ETF,在到期日的价格水平?
如果能够找到合适的途径来刻划标的股票的动态过程,接下来的问题就是,如何利用标的股票的动态过程推算出权证现时的价值?
在期权定价理论中,复制(Replication)与套利(Arbitrage)是两个关键的思想,而避险(Hedging)则是一个核心概念。在套利定价模型中,只有在能够用其它证券进行完美避险的情况下,期权才有可能通过一个证券组合将其精确地复制出来。
为了得到期权的定价,须找到这样一个资产组合或交易策略,它能保证在任何情况下都能产生与该期权相同的现金流。构造此资产组合的过程,就是进行避险的过程,相应的交易策略即为避险策略。如果能够做到这一步,我们就可以精确地复制出该期权。在无套利机会存在的情况下,期权的价值应该等于能复制该期权的资产组合的价值。因此,期权定价模型须找到一个策略复制出该期权,并且在无套利的条件下明确任何情况下复制期权的资产组合与期权有相同的现金流。
如何构造避险策略以实现对期权的最佳复制,不仅是期权定价理论的一个重要问题,也是一个令实务界感兴趣的问题,因为它涉及到发行商或做市商的风险控制。
综上所述,股票价格的动态过程及避险策略的构造是权证定价理论的两个基本问题。关于期权定价的诸多文献,大多都是从这两个问题入手的。这其中最具思想性及具划时代意义的文献,应该是Black和Scholes在1973年发表的关于期权定价模型的经典文章。同年,芝加哥期权交易所(ChicagoBoardOptions Exchange, CBOE)开始进行期权交易。这两个事件被看作是现代衍生产品市场发展的基石。
自此之后,期权市场及其它金融衍生工具市场便蓬勃发展起来。现在全球衍生产品市场的规模已经超过了国际银行间市场及股票市场,其庞大的交易规模以及快速的增长,充分说明了这一市场在当前金融市场中的重要地位。
目前国内对于权证定价及避险的探讨,无论在实务界还是在理论界基本上还属空白。本文的目的是对权证定价理论进行回顾及介绍,并重点考察各种复制策略的避险效果。
案例:权证发行商如何避险
发行商发行权证并非与投资者对赌,而是经过审慎计算标的股票未来的波动率,分析权证的风险后,买入标的股票、上市期权或场外交易期权等作避险。在下面的例子,假设发行商只通过购入标的股票作避险。
发行量:1000万份50 ETF认购权证,期限: 6个月,履约价格: 0.875元,现价:0.875元,发行价:0.0832元。
在发行权证当日,发行商售出了一千万份权证,每份权证获得0.0832元。对发行商而言,其风险是权证投资者在到期日时行使权证,届时发行商便需以ETF(股票结算)或现金 (现金结算)支付投资者。
用方向性交易进行避险将使发行商面临极大风险
假设一:发行商认为标的股票价格将下跌,故并没有购买任何标的股票作避险。在到期日,假设50ETF价格上升至1元,由于ETF现价高于履约价格,所有权证持有人将行使手上的权证。由于发行商没有在权证推出时购入ETF,发行商便需以1元的市价吸纳ETF,再以0.875元的价格售予行使权证的持有人。发行商净亏损=-1(ETF买入价)+0.875(履约价格)+0.0832(权证发行价)=-0.0418元发行商看错了后市而招致损失。
假设二: 发行商认为标的股票价格将上升,购买了相等于其权证发行量的50ETF。在到期日,50ETF价格跌至0.775元,由于现货价低于履约价格,故没有权证持有人会行使手上的权证,发行商便需以市价出售50ETF。发行商净亏损: -0.875 (买入价) + 0.775(卖出价) + 0.0832(股证发行价)=-0.0168元发行商看错了后市而招致损失。
从以上可见,无论发行商购入0% 或100% 的50 ETF、看好或看淡后市,都有可能招致损失。
作为从事衍生工具交易的专家,权证发行商并非以估计标的股票的走势,进行方向性交易而回避风险,而是经过审慎计算标的股票的波动率,实现风险的避险。
发行商应买入多少标的股票呢?
答案是:Delta值。对权证持有人而言,Delta值是反映当标的股票价格变动一元时,权证理论价格的变动；另一方面Delta值也是根据定价模型,计算投资者在到期日时行使权证的概率。权证发行商利用定价公式,计算出Delta值。上述例子,发行商会在发行权证当日,购入等于Delta值的百分比的50ETF,并会根据市场情况的变化,每日调整Delta值。若认购权证的履约价格为0.875,当现价为1元时,投资者行使权证的机会明显地较现货价为0.775元时高。现货价越高,认购权证的Delta值便越大,权证发行商因此需要每日调整Delta值。
例子:
第一日发行商出售一千万份认购权证,现货价:0.875元,Delta值:0.6。发行商在0.875元买入600万份50ETF(=发行权证份数1000万×Delta值0.6)。
第二日现货价:0.96,Delta:0.7。发行商为保持适当的避险,需持有700万份,因此额外买入100万份。
第三日现货价:1.05,Delta值:0.75。发行商额外再买入50万份,以使避险头寸达到750万份。
ETF第四日现货价:0.787,Delta值:0.55。为保持适当的避险,发行商只需持有550万份,因此卖出200万份。
第五日现货价:0.875,Delta值:0.6。为保持适当的避险,发行商需持有600万股,因此买入50万份权证。
发行商现时持有600万份ETF,每份的平均买入价为0.933元,但现货价已回落至0.875元,发行商的亏损为每份0.058元。由第一日及第五日期间,现货价涨涨跌跌,最后回到0.875元的价位,但发行商已因为高买低卖而招致了损失。由于股价的涨跌将继续,发行商将会因为每日调整Delta值而招致更大的损失。到权证到期时,发行商将会比较避险成本和发行权证所得的款项,如果避险成本高于发行权证的收益,发行商便有亏损；相反,如果避险成本低于发行权证的收益,发行商便可获利。
发行商发行权证并非与投资者对赌市场
从上面的例子可以看出,因为执行的是高买低卖的策略,波动率越高,即股票价格变动幅度越大,发行商的避险成本也越高。考虑到这点,发行商会以较高的价格发行其权证。故波动率较大股票的权证价格会比较低股票的高。按照BS公式,在决定Delta值的所有因素中,只有波动率是不确定的。在连续进行避险(且交易成本为0)的情况下,发行商的避险成本与价格路径无关,它只依赖于标的股票的波动率。只要波动率事先确定并保持不变,避险成本就是一个常数,与标的股票的涨跌无关。利用Delta值进行动态避险,实际上就是利用标的股票复制了一个权证,然后卖给投资者。在综合考虑了各种因素后,比如间断避险及交易手续费,只要这个复制出的权证的隐含波动率,低于发行商卖给投资者的权证的隐含波动率,也就是说,发行商在波动率上低买高卖就会有盈利。表1权证价格的影响因素影响因素认购权证价格变化 认售权证价格变化标的股价↑ ↑ ↓履约价格↑ ↓ ↑剩余期限↑ ↑ ↑无风险利率↑ ↑↓波动率↑↑ ↑表2几种避险策略
B-S模型 Leland模型 Delta区间 W-W模型k=0.1% -0.0102 -0.0095-0.0107-0.0090k=0.15% -0.01291 -0.01198 -0.01281 -0.0107k=0.2%-0.0153-0.0140 -0.0154 -0.0126k=0.3% -0.0199 -0.0179-0.0200-0.0165课题协调人:上海证券交易所 汤弦课题研究员:李玉刚 姜玉燕
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